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Coq リスト モナド

リストモナドの定義

Haskellのモナドを定義してみることを考える。
まず、モナドに必要なのは以下の三つの性質である。

• f(return(A),g) = g(A)
• f(A,return) = A
• f(f(A, g),h) = f(A, (x -> f(g(B), h)))

また、以下の2つの関数も必要となる。

• return
• f(a,b) = b(a)

以上に沿うように書いてみたモナドのクラスは以下のようになった。

Class MyMonad (M: Type -> Type) := {
    myreturn : forall {A}, A -> M A
  ; mybind : forall {A B}, M A -> (A -> M B) -> M B
  ; myleft_identify : forall A B (a: A) (f: A -> M B), mybind (myreturn a) f = f a
  ; myright_identify : forall A (m: M A), mybind m myreturn = m
  ; myassociativity : forall A B C (m:M A) (f: A -> M B) (g: B -> M C), mybind (mybind m f) g = mybind m (fun x => mybind(f x) g)
}.

次にリストのモナドインスタンスを定義してみる。

Instance MList: MyMonad list := {
   myreturn A x := x :: nil
 ; mybind A B m f := mymap A B f m
}.

さて、ここまでは通ったけど、証明ができないな。。。
mybindのところにhaskellのconcat関数見たいのがあれば行けそうだ！

証明

モナド則とリストモナドを定義したが、証明がうまくいかなかった。。。 そこで良い方法がないかと検索していたらflat_mapなる関数を見つけた。
これを使ってリストモナドの定義と証明をしてみる。 まずはモナドの定義の再掲とリストモナドの再定義。

Class MyMonad (M: Type -> Type) := {
    myreturn : forall {A}, A -> M A
  ; mybind : forall {A B}, M A -> (A -> M B) -> M B
  ; myleft_identify : forall A B (a: A) (f: A -> M B), mybind (myreturn a) f = f a
  ; myright_identify : forall A (m: M A), mybind m myreturn = m
  ; myassociativity : forall A B C (m:M A) (f: A -> M B) (g: B -> M C), mybind (mybind m f) g = mybind m (fun x => mybind(f x) g)
}.

Instance MList: MyMonad list := {
   myreturn A x := x :: nil
 ; mybind A B m f := flat_map f m
}.

早速証明開始。

Proof.
  intros A B a f.
  simpl.

------------------------------------
3 subgoal
A : Type
B : Type
a : A
f : A -> list B
______________________________________(1/3)
f a ++ nil = f a
______________________________________(2/3)
forall (A : Type) (m : list A), flat_map (fun x : A => x :: nil) m = m
______________________________________(3/3)
forall (A B C : Type) (m : list A) (f : A -> list B) (g : B -> list C),
flat_map g (flat_map f m) = flat_map (fun x : A => flat_map g (f x)) m

ん？simpl.しても変わらない。
まだ証明されていないのか？
とりあえず、　リストモナドの前に証明しよう！

Lemma nil_app : forall (A : Type)(a : list A),
  a ++ nil = a.
Proof.
  intros.
  induction a.
  simpl.
  reflexivity.
  simpl.
  rewrite IHa.
  reflexivity.
Qed.

帰納法でさくっと証明完了。 さて、戻ってリストモナドの証明の続きをしよう。

  rewrite nil_app.
  reflexivity.

  intros.
  induction m.
  simpl.
  reflexivity.
  simpl.
  rewrite IHm.
  reflexivity.

  intros.
  induction m.
    simpl.
    reflexivity.
    simpl.
    rewrite <- IHm.

---------------------------------

1 subgoals
A : Type
B : Type
C : Type
a : A
m : list A
f : A -> list B
g : B -> list C
IHm : flat_map g (flat_map f m) = flat_map (fun x : A => flat_map g (f x)) m
______________________________________(1/1)
flat_map g (f a ++ flat_map f m) =
flat_map g (f a) ++ flat_map g (flat_map f m)

んー。
良い感じで進んでたけど、また詰まったな。
リストモナドの前に戻って、flat_map f (a ++ b) = flat_map f(a) ++ flat_map f (b)の
証明をしよう！

Lemma flat_map_app : forall (A B : Type)(l l' : list A)(f : A -> list B),
  flat_map f (l++l') = flat_map f l ++ flat_map f l'.
Proof.
  induction l.
    simpl.
    intros.
    reflexivity.

    intros.
    simpl.
    rewrite IHl.
    rewrite app_ass.
    reflexivity.
Qed.

これも帰納法でさくっとできた。 よし！後は最後の大詰めだ！

    rewrite flat_map_app.
    reflexivity.
Qed.

やった！
できた！